Jika pada sebuah benda
diberikan gaya sebesar F maka benda akan memiliki percepatan yang disebabkan
oleh gaya tersebut. Percepatan benda memiliki arah yang sama dengan arah gaya
yang diberikan padanya. Bagaimana dengan benda yang berotasi? Bagaimana
gayanya?

1. sebuah balok diberi gaya F, benda
   akan bertranslasi, jika balok di bagian tengah dipaku sehingga balok tidak
   dapat bertanslasi tapi dapat berotasi,
2. bila gaya diberikan pada
   sudut B benda akan berotasi, dengan arah berbeda dengan (b),
3. begitu juga bila diberikan
   pada sudut C

1. arah r sejajar dengan
   arah F,
2. arah r tegak lurus
   dengan arah F,
3. arah r membentuk
   sudut θ terhadap F.

Jika gaya yang
kita berikan sejajar dengan arah batang ternyata batang tidak berotasi. Kita
dapat melihat skema pada gambar a diatas. Jika arah gaya tegak lurus maka
batang akan berotasi. Seperti yang ditunjukkan gambar b diatas.

Bagaimana kalau
gaya membentuk sudut



















 yang besarnya sembarang dengan batang? Jika
gaya membentuk sudut sembarang terhadap batang, benda akan berotasi tetapi
percepatan sudut yang dihasilkan akan berbeda dengan jika sudutnya tegak
lurusnya. Hal itu ditunjukkan pada gambar c diatas. Perhatikanlah arah putaran
akan berlawanan bila gaya yang diberikan berlawanan arah. Torsi disebut juga
momen gaya dan merupakan besran vektor posisi r dengan gaya F, dapat dituliskan


 besarnya torsi adalah

 pada batang di atas vektor r adalah vektor
yang berawal di ujung batang yang dipatri dan berujung atau berarah di ujung
yang lainnya. Bila gaya tegak lurus maka

=90 sehingga
nilai sin

=1. Torsi yang
dilakukan pada batang maksimal. Bila

 sejajar dengan

, maka nilai
sin=0 sehingga besarnya torsi 0 dan batang tidak berotasi. Besar torsi dapat
kita tuliskan sebagai :

 dengan I=r sin

.

v 
Arah Torsi

Lengan torsi ditunjukkan oleh I.
Lengan torsi sebuah gaya didefinisikan sebagai panjang garis yang ditarik di
titik sumbu rotasi sampai memotong tegak lurus garis kerja gaya seperti pada
gambar berikut.

Perhatikan dengan arah torsi, arah torsi menuruti aturan putaran tangan
kanan seperti pada gambar berikut.  

Jika arah putaran berlawanan dengan
arah jarum jam maka arah torsi ke atas dan arah bila arah putaran searah dengan
arah putaran jarum jam maka arah torsi ke bawah. Kita dapat melihatnya dengan sebuah sistem koordinat. Bila batang
terletak pada sumbu x dan
pangkal vektor r di titik
(0,0,0). Gaya pada arah sumbu y
positif batang akan berputar melawan arah jarum jam, arah torsi ke arah sumbu z positif. Sebaliknya bila arah gaya
kearah sumbu y negatif, putaran
batang berlawanan dengan arah jarum jam, arah torsi ke sumbu z negatif. Jika arah gaya tidak tepat pada
arah sumbu y tetapi membentuk sudut θ terhadap sumbu x, maka arah torsi dapat dilihat pada
gambar berikut.

Arah torsi untuk F berarah sembarang. Arah sumbu y
positif adalah arah masuk bidang gambar.

1. torsi memiliki arah ke sumbu
   z positif, tetapi arah putarannya berlawanan arah dengan arah jarum
   jam,
2. arah torsi ke sumbu z
   negatif, arah putarannya searah dengan arah jarum jam.

Jika pada sebuah benda bekerja lebih dari satu
torsi bagaimana dengan gerakan benda? Jika pada benda bekerja lebih dari 1
torsi maka torsi total

Pada batang dengan titik tumpu pada ujung kiri batang, ada dua gaya yang
bekerja pada batang 

Pada gambar
diatas gaya F₁ akan menyebabkan batang berputar searah dengan jarum
jam, gaya F₂ akan menyebabkan benda berputar berlawanan arah jarum
jam. Torsi total adalah jumlah kedua torsi tersebut.

Contoh Soal.

v  Pengertian Momen Inersia

Momen
inersia adalah suatu benda bergantung pada poros rotasinya, semakin tersebar
massa benda terhadap poros rotasinya, semakin besar momen inersianya. Satuan
dari momen inersia adalah kg m² (kilogram meter kuadrat). Miaslnya
anda memiliki sebuah batang ringan (anggap massa batang nol) dengan panjang r.
Salah satu ujung batang, yaitu titik O, ditetapkan sebagaititik poros O,
sehingga partikel bermassa m berotasi dengan kecepatan linear v (dengan kecepatan sudut putar sistem
adalah



















). Tentu saja energi kinetik rotasi partikel (EK)
adalah

EK_rotasi =

 mv² .

Rumus momen
inersia (I) suatu benda bermassa yang memiliki titik putar pada sumbu yang
diketahui dirumuskan sebagai berikut :

I = m . R²

dimana m
adalah massa partikel atau benda (kilogram) dan R adalah jarak antara partikel
atau elemen massa benda terhadap sumbu putar (meter). Untuk benda pejal (padat)
dengan geometri yang tidak sederhana, besarnya momen inersia dihitungsebagai
besar distribusi massa benda dikali jarak sumbu putar. Untuk benda yang terdiri
dari beberapa partikel, maka momen inersianya merupakan jumlah dari semua momen
inersia masing-masing partikel. Begitu pula jika suatu benda memiliki bentuk
yang kompleks atau terdiri dari berbagai macam bentuk, maka besar momen
inersianya adalahjumlah momen inersia dari tiap bagian-bagiannya.

v  Momen Inersia Partikel

I=mr²
karena momen inersia I pada gerak rotasi analog dengan massa m pada gerak
translasi, maka fungsi momen inersia sama dengan fungsi massa. Jika massa m
pada gerak translasi menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan
kecepatan linearnya, momen inersia benda pada gerak rotasi menyatakan ukuran
kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan sudut rotasinya.

Sebuah benda tegar disusun oleh
banyak partikel terpisah yang masing-masing memiliki massa m₁, m₂,
m_3, . . .untuk menentukan momen inersia dari benda-benda seperti itu
terhadap suatu poros tertentu, mula-mula kita harus mengalikan massa tiap-tiap
partikel dengan kuadrat jaraknya dari poros (r₁², r₂²,
r₃². . .), kemudian dijumlahkan, atau kita tulis I=∑m_i
r_i²= m₁r₁ + m₂²
r₂² + m₃r₃² + . .
.

 

v 
Menentukan
Momen Inersia Benda Pejal Teratur

Momen
inersia sebuah partikel bermassa m yang berjarak r tetap dari sumbu rotasi
dinyatakan oleh persamaan I=mr². Masalah kita adalah menentukan
momen inersia batang (benda pejal) terhadap poros yang melalui poros yang
melalui poros yang melalui titik pusat batang dan tegak lurus pada batang massa
batang M yang terdistribusi homogen sepanjang L tidak dapat kita anggap sebagai
benda titik (partikel). Supaya dapat dianggap partikel maka batang sepanjang L
ini kita bagi-bagi dengan panjang sangat kecil dr, yang memiliki massa dm.
Misalnya kita ambil suatu massa dm yang berjarak tetap r dari poros, maka
partikel dm ini akan menghasilkan momen inersia dl terhadap poros melalui p dan
ini memenuhi persamaan dl=r² dm, oleh karena itu jarak tetap, maka
kita harus memilih elemen kecil dr sebagai variabel integral dan menggubah dm
ke variabel dr. Kita anggap batang pejal massa M, panjang L adalah homogen maka
massa jenis  linear. 

 Contoh Soal.

Kekekalan Momentum

v 
Pengertian Kekekalan Momentum Sudut

Hukum kekekalan momentum sudut menyatakan apabila T =
0 maka L konstan. Dalam gerak linear kita telah mempelajari apabila tidak ada
gaya dari luar sistem adalah kekal, atau tidak berubah. Jika torsi pada suatu
sistem adalah nol maka dL=0 atau perubahan momentum sudutnya nol, atau momentum
sudutnya kekal.

Hukum kekekalan momentum sudut berlaku saat peloncat
meninggalkan papan. Prinsip ini juga dipakai pada peloncat indah. Saat peloncat
meninggalkan papan memiliki laju sudut



















₀, terhadap sumbu horizontal yang melalui pusat
massanya, sehingga dia dapat memutar sebagian tubuhnya setengah putaran, maka
ia harus mempercepat laju sudut sehingga menjadi 3 kali kelajuan sudut semula.
Gaya yang bekerja pada peloncat berasal dari gravitasi, tetapi gaya gravitasi
tidak menyambung torsi terhadap pusat massanya, maka berlaku kekekalan momentum
sudut. Agar laju sudutnya bertambah maka dia harus memperkecil momen inersia
menjadi 1/3 momen inersia mula-mula dengan cara menekuk tangan dan kakinya ke
arah pusat tubuhnya.

v  Contoh
Aplikasi Hukum Kekekalan Momentum Sudut

Seorang penari balet berputar dengan kecepatan sudut
w, momen inersianya I_m. Bila kemudian merentangkan kedua tangannya
sehingga momen inersianya menjadi I_a, berapa kecepatan sudut penari
sekarang? Kita bisa menyelesaikan dengan menggunakan hukum kekekalan momentum
sudut. Pada penari tidak ada gaya dari luar maka tidak ada torsi dari luar,
sehingga momentum sudut kekal: L_m=L_a atau I<sub>m

m</sub>
=I<sub>a

a</sub>
penari merentangkan kedua
tangannya maka momen inersianya menjadi bertambah I_a > I_m maka
kecepatan sudut penari menjadi berkurang.

Begitu juga bila penari balet mula-mula tangannya
terentang, kemudian dia merapatkan kedua tangannya. Momen inersia penari akan
mengecil sehingga kecepatan sudutnya menjadi lebih besar. Kecepatan sudut bisa
berubah meskipun tidak ada torsi dari luar. Tenaga kinetik rotasi penari juga
tidak konstan. Kondisi tersebut terjadi karena konsep hukum kekealan momentum
sudut berlaku.

Momentum sudut adalah besaran vektor yang berarti
bahwa itu didefinisikan oleh besaranya dan arah, sehingga kekekalan momentum
sudut juga melibatkan vektor. Kekekalan momentum sudut berlaku untuk sistem
dimana total torsi diterapkan 0. Torsi adalah gaya rotasi seperti putar ab.
Untuk menentukan apakah kekekalan momentum sudut berlaku. Jumlah dari momentum
sudut dalam sistem sebuah dan setelah perubahan dijumlahkan bersama. Jika
momentum sdut setelah dikurangi perubahan yang sebelum perubahan sama dengan 0,
momentum sudut itu kekal. Hukum kekekalan momentum sudut bila tidak ada gaya
dari luar yang bekerja pada benda (=0) maka berlaku hukum kekekalan momentum
sudut yaitu:

1.      Untuk satu benda

L₁=L₂ atau I<sub>1



















1</sub>=I<sub>2

2</sub>

Keterangan I₁= momen inersia keadaan 1

                    I₂=
momen inersia keadaan 2

                     ₁=kecepatan sudut keadaan 1

                     ₂=kecepatan sudut keadaan 2

                    L₁=momentum
sudut keadaan 1

                    L₂=momentum
sudut keadaan 2

2.      Untuk dua benda

I₁.

1+I₂.  

₂=(I₁+I₂)

 Bila arah gerak searah

 I₁.

₁-I₂.
 

₂=(I₁-I₂)

 Bila arah gerak berlawanan arah

Keterangan: I₁=momen inersia benda 1 dalam
kg.m²

                    I₂=
momen inersia benda 2 dalam kg.m²

                     ₁= kecepatan sudut benda 1 dalam rad/s

                   

₂= kecepatan sudut benda 2 dalam rad/s

= kecepatan
sudut benda gabungan benda 1 dan benda 2 dalam rad/s

v  Kaitan
Antara Momentum Sudut dengan Torsi

Lembar Kerja Siswa

Momen gaya

A.       Tujuan

Untuk mengetahui momen gaya yang di hasilkan dari
setiap beban

B.       
Rumusan Masalah

Setelah melakukan eksperimen ini, kalian diharapkan mampu :

1.       

2.       

3.       

C.      
Rumusan Hipotesis

1.      
 

2.      
 

3.      
 

D.       Alat dan Bahan

A.       Langkah Kerja

1.      
Susunlah alat dan bahan  

2.      
Pasang beban yang ditentukan pada pengait beban
yang sudah di rangkai pada alat

3.      
Tentukan jari jari atau panjang lengan

4.      
Ukurlah sudut yang terbentuk oleh lengan gaya
dengan melihat busur derajat

5.      
Ukurlah gaya yang dihasilkan oleh beban dengan membaca pada
neraca pegas yang telah di rangkai

B.       
Tabel Data Pengamatan

.    
Pembahasan

1.      
Bagaimanakah hubungan antara gaya yang dengan momen gaya?

Jawab :

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

2.      
Buatlah
kesimpulan berdasarkan kegiatan ini!

Jawab
:

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

E.    
Kesimpulan

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Latihan Soal

Latihan
soal 1

1.   Suatu
gaya F =(6i + 8j) N berada pada posisi r =(3i + 2j) m dari sumbu koordinatnya.
Tentukan besar torsi yang ditimbulkan oleh gaya F tersebut.

2.   Batang
AB panjang 100cm, massa 3kg dan titik diabaikan. Pada batang bekerja gaya 20N
dan 10N seperti gambar berikut!

Besar
momen gaya dengan titik P sebagai porosnya (gunakan percepatan gravitasi bumi
g=10m/s²)

3.     
Sebuah
tongkat yang panjangnya 40cm mendapat tiga gaya yang sama besarnya 10 newton
seperti pada gambar.

4.     
Tentukan
momen gaya yang dialami benda pada gambar dibawah ini !

5.     
Jika
diketahui jarak F₁ ke P = 4m dan jarak F₂ ke P = 2m, maka
tentukan torsi total yang dialami benda pada gambar dibawah ini!

Latihan
soal 2

1.      1. Susunan
3 buah massa titik seperti gambar berikut !

Jika
m₁ = 1 kg, m₂ = 2 kg, dan m₃ = 3 kg, tentukan
momen inersia sistem tersebut jika diputar menurut :

Bola A bemassa = 60gr dan bola B = 40gr dihubungkan
batang AB (massanya diabaikan)

Tentukan
kedua bola diputar dengan sumbu putar di P momen inersia sistem tersebut !

1.    3. Sebuah batang homogen bermassa 0,6kg dan panjang 60cm
seperti gambar dibawah ini. Jika gumpalan lumpur bermassa 20gr dilempar dan
menempel pada salah satu ujung batang, maka momen inersia sistem melalui pusat
batang!

1.     
4. Jika sebuah silinder pejal bermassa 2kg dan
berjari-jari 0,1m diputar melalui sumbu silinder dan segumpal lumpur bermassa
0,2kg menempel pada jarak 0,05m dari pinggir silinder, maka momen inersia sistem!

Latihan
soal 3